皇帝新脑-第13章
按键盘上方向键 ← 或 → 可快速上下翻页，按键盘上的 Enter 键可回到本书目录页，按键盘上方向键 ↑ 可回到本页顶部！
————未阅读完？加入书签已便下次继续阅读！
正如许多其他的数学观念，尤其是更美丽的、更基本的那些，可计算性的观念似乎自身具有某种柏拉图的实在性。在下面两章，我们应该探讨的正是数学概念的柏拉图实在性的这个神秘问题。
注 释1．我是采用当代通常的术语，它现在把零包括在“自然数”之中。
2．还有许多把一对、三个等等数编码成单独一个数的其他方法。虽然它们对于我们现在的目的不甚方便，数学家却熟知这些方法。例如，公式 便是用一个单独的自然数来代表一对自然数 。 12（（a ＋ b） ＋ 3a ＋ b） （a； b）
2试试看！3．我在上面没花工夫去引进某种表示起始一个数（或指令等等）的序列的记号。这对于输入没有必要，由于当遭遇到第一个1时事情刚刚开始。然而，对于输出需要某些其他东西，这是由于人们预先为了达到第一个（也就是最左边的）1不知道要沿着输出磁带看多远。尽管在往左看时会遇到0的很长的串，这并不能保证在左边更远处不再有1。人们对此可采用不同的观点。其中一种总是用特殊记号（譬如，在收缩步骤中用6来编码）去启始整个输出。但是为了简单起见，我在自己的描述中将采用不同的观点，也就是总“知道”仪器实际上已遭遇到了多长的“磁带”（例如，人们可以想象，它留下了某种痕迹），在原则上不必去检查无限长的磁带，就能肯定整个输出已被查过。4．一种把两盘磁带的信息编码到单独一盘磁带上的方法是插入法。这样，这盘单独磁带上的奇数号码的记号可代表第一盘磁带的记号，而偶数号码的记号可代表第二盘磁带的记号。可用类似的方案来处理三盘或更多盘磁带。这一过程的“低效率”起因于如下事实，即阅读机必须沿着磁带不断地来回进退，并在上面留下记号以记住在该磁带偶数和奇数部分的什么地方。5．这一过程只是指作过记号的磁带可解释作自然数的方法而言。它并不改变我们特定的图灵机的编号譬如EUC或XN＋1。6．如果Tn/没有被正确地指定，则 U只要在n的二进位表示中到达多于四个1的第一串，就会像n的数已被终止那样进行下去。它就会把该表示式的余下部分当成m的磁带的部分来读，所以它会继续进行某种毫无意义的计算！如果需要的话，可采用扩展二进位记号来表示n，这种特征就能被清除。我决定不这样做，以免使这台可怜的普适机器U更加复杂！
7．我感谢大卫？德义奇根据以下我得到的u的二进位形式推导出十进位形式。我还感谢他检验u的这个二进位值实际上的确给出了一台普适图灵机！事实上u的二进位值为：
1000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l1001110101010010010101110101010011010001010001010110100有进取心的读者可把一台效率高的家庭用电脑，以正文中给出的方法，应用于不同的简单的图灵机号码中验证上面的号码事实上的确给出了一台普适图灵机的动作行为！对图灵机的不同明记方法可使u的值降低一些。例如，我们可以免除stop，而相反地采取这样的规则，即只要机器在某个其他非0的内态后重新进入内态0时它就停止。这样做没有太多收益（如果有的话）。如果我们允许磁带有比仅仅0和1的更多的记号，则能得到更大的收益。在文献中的确描述过显得非常简洁的普适图灵机。但是，由于它们一般地依赖于图灵机描述的极其复杂的编码，所以这种简洁性是骗人的。8．参阅德伏林（1988）的和这一著名断言相关事体的非技术性讨论。
9．我们再次简单地应用前面进行的步骤，当然也能击败这个改善了的算法。然后我们可以用这新的知识去进一步改善我们的算法；但是我们又可将其击败等等。这一递归步骤所导致的这类考虑将在第四章第125页的和哥德尔定理联系起来讨论。
第三章数学和实在托伯列南国
想象我们到某一遥远世界作远程旅行。我们称这一遥远世界为托伯列南国。现在把我们的遥感仪器收集到的信息展现在面前的屏幕上。调好焦距后就看到了图3。1。
图3。1 奇异世界之第一瞥。
它为何物？它是一只形状古怪的昆虫吗？也许它是一个深颜色的并有许多山溪注入的湖泊。也许它是一座巨大的形状奇特的异国城市，公路沿着不同方向散开到附近的小镇和乡村去。它也许为一个岛屿――让我们寻找看在附近是否有和它相连接的陆地。我们可以后退一些，把我们的感觉仪器的放大倍数减少十五倍左右。 嗬， 整个世界进入了我们的视界之内 （图3。2）。图3。2 整个“托伯列南国”。箭头这下标出了在图3。1、图3。3和图3。4中的放大部分的位置。我们在“岛”在图3。2中看起来成为标记�
