皇帝新脑-第40章

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。我们将此圆周垂直投影就得了偏振椭圆（图6。28）　。q的黎曼球面仍然描述了光子偏振态的总体，但是q的平方根为之提供了空间实现。图6。27圆偏振电磁波。　（椭圆偏振是介于图6。26和图6。27之间的中间情况。）图　黎曼球面（现在是　的）也描述了一个光子的偏振态（指向　6。28　qq的矢量称为　。）　斯托克斯矢量我们可同样地将用于电子的同一个公式1/2（1＋cosθ）用于计算概率，只要我们把它应用于q而不是p。考虑一平面偏振我们首先在一个方向上，然后在另一和它夹j角的方向上测量光子的偏振。这两个方向对应于球面赤道上从中心看张角为的两个p值。因为p为q的平方根，所以q点在中心的张角为p点张角的两倍：θ=2j。这样，在第一测量结果为是后第二测量结果亦为是（亦就是通过第一偏振片的光子再通过第二偏振片）的概率为1/2（1＋cos2）这正是前面断言的cos2j…（可用简单的三角验证之）。乱这些描述。该因子是当我们要求｜→＞和｜←＞归一化时所引起的。大自旋物体对于具有多于两个基本态的量子系统，在物理上可区别的态的空间比黎曼球面更复杂。然而在自旋的情况，黎曼球面本身总是起着直接的几何作用。考虑以下　自旋为　×　的粒子或原子，让它处于静止。　有质量的　n　/　2　h这样自旋就定义了一个n＋1态的量子系统。（对于一个无质量的，也就是以光速运动的自旋的粒子，譬如光子，正如上面所描述的，自旋总是一个两态系统。但是对于有质量的粒子，态的数目随着自旋而增加。）如果我们选择在某一个方向测量该自旋，会发现共有n＋1不同的可能的结果，此结果依自旋相对于该方向的指向而定。按照基本的单位h/2，在那个方向自旋的可能结果为n，n…2，n…4，…，2…n或…n。这样n=2时其值为2，0或…2；n=3时其值为3，1，…1或…3；等等。负值对应于自旋主要指向和所测量的方向相反的方向。在半自旋的情形，亦即n=1时，上述的值1对应于是，而值…1对应于非。

　　由于我不想企图在这里解释的原因，人们发现（马约拉纳1932，彭罗斯　）对于　的自旋　（准确到一个比例系数）可唯　1987a　n　/　2　h　每一个自旋态一地由黎曼球面上的　（无序的）　n　点的集合，　也就是从中心出发的n个　（通常不同的）方向表征（见图6。29）。这些方向由可能对此系统进行的测量所表征：如果我们在它们中的任一个方向测量自旋，则结果一定不会全在相反方向上，也就是给出值n，n…2，n…4，…2…n，但不会有…n。）在譬如上述电子的n=1的特殊情形下，这就是在上面描述中标以q的黎曼球面上的一点。但是对于大数值的自旋，正如我刚才描述的，图像变得更为精巧――虽然，由于某种原因，物理学家对此并不特别熟悉。

　　在这些描述中有些相当令人吃惊和困惑的东西。人们经常相信，当系统变得更大更复杂时，在某种适当的极限的意义上，原子（或基本粒子或分子）的量子描述就会过渡到经典的牛顿描述。然而，在实际情况中，这肯定是不对的。正如我们已经看到的，具有大角动量的客体的自旋态对应于大量的杂乱地撒开在黎曼球面上的点①。　我们可以把物体的自旋认为是由一大堆大小为一半的，方向由这些点决定的自旋所组成。这些结合态中只有很少情形，其大部分点集中在球面上的一个小区域中（亦即大部分半自旋近似地指向同一个方向）――这些才对应于人们通常在譬如板球等等经典物体处遇到的角动量的实际的态。我们也许会预料到，如果我们选择一个总角动量为某个非常大的数（按照单位　），　h/　2是处于“紊乱”的自旋态，那么某种类似于经典自旋的东西就会开始出现。

　　但是情况根本不是这样，一般地讲，具有大的总自旋的量子自旋态和经典①　这个客观性是我们认真采用标准量子力学形式的一个特征。在一种非标准的观点中，系统也许事先已　“知道”它将提供给任何测量的结果。还会带给我们物理实在的一种不同的显然客观的图像。态毫不相像！

　　图6。29对于一颗有质量的粒子，　一般的高自旋态可用指向任意方向的半自旋态的集体来描述。那么经典物理中的角动量的对应物是如何构成的呢？大多数大自旋量子态实际上不和经典的东西相类似，它们是每一个都类似于经典的（正交的）态的线性叠加。对此系统进行“测量”时，其状态（以某种概率）　“跃迁”到这一个或那一个类经典的态上去。这种情形和系统的任何其他经典地可测量的性质相类似，而不仅仅是角动量。正是量子力学这个方面在一旦系统“到达经典水平”时即起作用。在后面我还要仔细讨论这些，但在讨论这么“大”或这么“复杂”的量子系统之前，我们必须对量子力学如何实际处理包含多于一个粒子的系统的古怪方式有些了解。多粒子系统很不幸，多粒子状态的量子力学描述是相当复杂的。事实上，它们会变得极其复杂。人们必须按照所有粒子各自所有可能的不同位置的叠加来思考！这导致可能状态的极庞大的空间――比在经典理论中的一个场大得多了。我们已经知道，甚至在单粒子的量子态，也即一个波函数即有一整个经典场的复杂性。这个图像（需要无限个参数才能指明）已经比粒子的经典图像（这里只需几个参数就能指明其状态――如果没有内部自由度，譬如自旋的话，实际上是六个，参阅第五章202页）复杂得很多。这似乎很糟糕。人们也许以为，必须用两个场来描述两个粒子的量子态。根本不是这回事！两个或更多粒子的状态的描述，正如我们将看到的，要比这个更精巧得多！

　　一个单独的（无自旋的）粒子的量子态由粒子所能占领的每一可能位置上的一个复数（幅度）所定义。粒子在点A有一幅度，在点B有一幅度，在点C有一幅度等等。现在考虑两个粒子。譬如，第一个粒子可能呆在A，而第二个粒子呆在B这种可能性必须有一幅度。另外，第一个粒子可呆在B，而第二个粒子呆在A，这也需要一幅度；或第一个粒子呆在B，而第二个粒子呆在C；　或者也许两个粒子都在A。　每一种可能都有一个幅度。　这样，波函数不仅仅是位置的一对函数（也就是一对场）；它必须是两个位置的一个函数！为了估计一个双位置的函数比二个单位置的函数复杂多少，我们可想象一种情景，只存在有限数目的允许位置的集合。假定只有十个允许的由（正交）态给定的位置｜0＞，｜1＞，｜2＞，｜3＞，｜4＞，｜5＞，｜6＞，｜7＞，｜8＞，｜9＞。

　　粒子态｜ψ＞为某种组合｜ψ＞=z0丨0＞＋z1丨1＞＋z2丨2＞＋z3丨3＞＋……＋z99＞，此处不同分量z0，z1，z2，…z9分别顺序提供了粒子在每一点处的幅度。十个复数指定了粒子的状态。对于双粒子状态，我们对每一对位置都需要一个幅度。共有102=100不同的（有序）位置对，所以我们需要一百个复数！如果我们只有两个单粒子态（亦即“位置的两个函数”而不是上面的“一个双位置的函数”），则我们只需要二十个复数。

　　我们可以把这一百个数标为z00；z01；z02；…；z09；z10；z11；z12；…z20…z99；以及把相应的（正交）基矢量标为12｜0＞｜0＞，｜0＞｜1＞，｜0＞｜2＞，…，｜0＞｜9＞，｜1＞｜0＞，…，｜9＞｜9＞。则一般的双粒子态｜ψ＞可写成｜ψ＞=z00｜0＞｜0＞＋z01｜0＞｜1＞＋…＋z99｜9＞9＞。此处态的“乘积”记号具有如下意义：如果｜α＞是第一个粒子可能的态（不必是位置态），而｜β＞为第二个粒子的可能的态，则断言第一个粒子的态为｜α＞以及第二个态为｜β＞的态可写作｜α＞｜β＞。可对任何其他的量子态而不必仅仅是单粒子态取“乘积”。这样，我们总是将乘积态｜α＞｜β＞（不必为单粒子的态）解释作描述以下事件的同时发生：

　　“第一系统处于态｜α＞而且第二系统处于态｜β＞”。

　　（可对｜α＞｜β＞｜γ＞等等进行类似的解释；见下面。）然而，一般双粒子态实际上并不具备这种“乘积”的形式。例如，它可以为｜α＞｜β＞＋｜ρ＞｜σ＞，此处｜ρ＞为第一系统的另一个可能的态，而｜σ＞是第二系统的另一个可能的态。此状态是一线性叠加；也就是第一个（｜α＞以及｜β＞）的同时发生加上第二个（｜ρ＞以及｜σ＞）的同时发生，而它不能被重写成一个简单的乘积（亦即作为两个态的同时发生）。作为另一例子，态｜α＞｜β＞…i｜ρ＞｜σ＞描述另一个不同的线性叠加。注意量子力学需要很清楚地区别“以及”和“加”这两个词。在现在语言中――譬如在保险小册子中――非常不幸地将“加”在“以及”的意义上使用。这里我们要加倍小心！

　　三个粒子的情形非常类似。在上述的只有十个可选择的位置的情况下，为了指明一般的三粒子状态，我们现在需要一千个复数！三粒子态的完备基是｜0＞｜0＞｜0＞，｜0＞｜0＞｜1＞，｜0＞｜0＞｜2＞，…，｜9＞｜9＞｜9＞。

　　特殊的三粒子态具有如下形式｜α＞｜β＞｜γ＞（这里｜α＞，｜β＞和｜γ＞不必为位置态），但是对于一般的三粒子态人们必须将许多这种简单的“乘积”叠加起来。对于四个或更多粒子的相应的模式则不必多赘。

　　迄今为止我们只是讨论可辨别的粒子。这里我们将“第一个粒子”，“第二个粒子”和“第三个粒子”等等都当作不同种类的。然而，量子力学的一个显著特点是，等同粒子的规则与上面不同。其规则事实上是，在很清楚的意义上，特别种类的粒子必须完全等同，而不仅仅是极端接近于等同。但是，所有电子之间相互等同的方式和所有光子的方式不同。粒子的这两种一般种类必须以相互不同的方式处理。为了不使读者在完全被用词不当所混淆之前，让我首先解释费米态和玻色态实际上是如何表征的。其规则如下。如果｜ψ＞是牵涉到某一特别种类的一些费米子，那么如果两个费米子相互交换，则｜ψ＞必须作如下的变化｜ψ＞―→－｜ψ＞。如果｜ψ＞牵涉到某一特别种类的一些玻色子，则其中任何两个玻色子交换时，｜ψ＞必须作如下变化｜ψ＞―→－｜ψ＞。

　　它的一个含义是两个费米子不能处于同一态中。因为如果这样的话，把它们交换就根本不影响其总的态，　我们就必须有…｜ψ＞=｜ψ＞，　也就是｜ψ＞=零，对于量子态来说这是不允许的。这个性质称之为泡利不相容原理　13，它对物体的结构具有基本的含义。物体的主要成份的确是费米子：电子、质子和中子。若没有不相容原理，物体就会向自身坍缩！

　　我们来重新考虑十个位置的情形。我们假定有一个含有两个等同费米子的态。态｜0＞｜0＞被泡利原理所排除（在第一个因子和第二个因子交换时它保持不变并没有反号）。而且，｜0＞｜1＞就这样子也是不行的，由于在交换时没有变成它的反号；但是这很容易由下式予以补救｜0＞｜1＞…｜1＞｜0＞（如果需要的话，为了归一化，可以加上一个总的因子　。）此态在　1/　2粒子相互交换时正确地变号。但现在｜0＞｜1＞和｜1＞｜0＞不再分别为独立的态。我们现在只许用一个态来取代这两个态。总之，共有12（　×　）　10　9　=　45这类的态，每一个态是从不同的｜0＞，｜1＞，…，｜9＞态的无序对而来。这样，需要45个复数才能指明我们系统的态。对于三个费米子，人们需要三个不同的位置，而基本的态看起来像下面的样子｜0＞｜1＞｜2＞＋｜1＞｜2＞｜0＞＋｜2＞｜0＞｜1＞…｜0＞｜2＞｜1＞…｜2＞｜1＞｜0＞…｜1＞｜0＞｜2＞，总共有　（10×9×8）　/6=120态，这样需要用120个复数去指明三费米子态。

　　更多费米子的情形是类似的。

　　对于一对等同的玻色子，独立的基本态共有两类，即像｜0＞｜1＞＋｜1＞｜0＞的态和像｜0＞｜0＞的态（现在这是允许的），共有（10×11）/2=55态。这样我们的双玻色子态需要55个复数。对于三玻色子共有三种类型的基本的态，共需要（10×11×12）/6=220个复数，等等。

　　当然，为了表达主要的观念，我在这里考虑简单化的情形。更现实的描述则需要位置态的整个连续统，但其基本思想是一样的。另一微小的复杂性是自旋的参与。一个半自旋的粒子（必须为费米子）在每一个位置都有二个可能的态。我们可以把它们标作“↑”（自旋“向上”）和“↓”

　　（自旋“向下”）。在我们简化的情况下，对于每一个粒子共有二十个而不是十个基本的态｜0↑＞，｜0↓＞，｜1↑＞，｜1↓＞，｜2↑＞，｜2↓＞，…，｜9↑＞，｜9↓＞，但是除此以外，所有讨论都和以前一样地进行（这样，对于两个这样子的费米子人们需要（20×19）/2=190个数；对于三个则需要（20×19×18）/6=1140个数，等等。）

　　我在第一章提到了这样的一个事实，根据现代理论，如果一个人的身体中的一个粒子和他的屋子的砖头中的一个粒子相交换，则根本不会有什么事会发生。如果那一个粒子为玻色子，正如我们看到的，态｜ψ＞的确完全不受影响。如果该粒子为一个费米子，则态｜ψ＞将由…｜ψ＞所替换，在物理上它和｜ψ＞是等同的。（如果我们感到有必要，可以修补这一符号改变，在交换之时简单地将粒子旋转360°就可以了。我们记得在进行360°旋转时，　玻色子不受影响而费米子变号！　现代理论　（大约在1926年左右）的确告诉我们有关物理物质的个别本体的问题的某些基础的东西。严格地讲，人们不能提到“这个特别的电子”或“那个单独光子”。断言“第一电子在这里而第二电子在那里”是声称态具有｜0＞｜1＞的形式。正如我们已经看到的，这对于费米子态是不允许的！然而，我